LEY DE DISTRIBUCION DE MAXWELL BOLTZMANN PDF

Distribuciуn de Velocidades de Maxwell Directamente de la Distribuciуn de Boltzmann La distribuciуn de Boltzmann es fundamental para nuestra comprensiуn del fenуmeno molecular clбsico, que nos dice que la probabilidad de encontrar una molйcula cualquiera con una energнa E, disminuye exponencialmente con la energнa, es decir una molйcula cualquiera es muy poco probable que agarre mucho mбs que la cuota media de la energнa total disponible para todas las molйculas. Matemбticamente, la distribuciуn de Boltzmann se puede escribir en la forma Esta distribuciуn se puede hacer posible mediante un ejemplo numйrico , particularmente cuando se pone en forma grбfica , pero el desarrollo matemбtico riguroso de Boltzmann se mantiene como un importante logro en las matemбticas de la fнsica. Vamos a tomarlo como un postulado aquн y demostrar que la distribuciуn de velocidades de Maxwell se desprende de ella. Si esta distribuciуn se aplica a una sola direcciуn de la velocidad de una molйcula en un gas ideal, viene a ser La conversiуn de esta fуrmula en otra que exprese la probabilidad en funciуn de las velocidades en tres dimensiones, da como resultado la distribuciуn de velocidades de Maxwell: Los pasos a seguir en esta conversiуn son.

Author:Akishura Arashitaxe
Country:Lithuania
Language:English (Spanish)
Genre:Software
Published (Last):3 April 2017
Pages:296
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ISBN:519-7-25559-397-4
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Si pudiйsemos responder estas preguntas aprenderнamos mucho. En efecto, si suponemos, como lo hemos hecho hasta ahora, que el gas estб en equilibrio, la forma en que todos los posibles valores de la velocidad estбn "repartidos" en las molйculas no va a cambiar con el tiempo; sуlo son diferentes molйculas las que a tiempos diferentes tienen tambiйn velocidades distintas.

Y si conocemos esta reparticiуn podemos calcular, como en el ejemplo anterior; tanto como. Sin hacer ningъn tipo de ejercicio matemбtico, el lector puede adivinar por sн mismo cуmo puede ser, cualitativamente, la forma de esta distribuciуn o reparto de velocidades.

Grafiquemos en un sistema de coordenadas cartesianas el nъmero de partнculas por unidad de volumen, digamos por cm3, que tienen velocidades comprendidas en un cierto intervalo de velocidades; llamйmosle Du, contra la velocidad u. A este nъmero le llamamos N u Du. Relativamente fбcil. Comencemos por el origen. Debemos sospechar que es cero. En nuestra caja es muy difнcil imaginar que entre todas las colisiones violentas que ocurren y el incesante bombardeo a que estб sometida cada molйcula alguna de ellas pueda estar en reposo.

Aceptemos esta sospecha como un juicio vбlido. La curva comienza pues en el origen de coordenadas en la figura 8. Y como obviamente la velocidad u no puede ser mayor que la velocidad de la luz, el nъmero de partнculas por unidad de volumen con velocidades mayores que dicha velocidad es cero.

Podemos inferir entonces que la curva debe ser cero cuando la velocidad es muy grande. Asн pues, la curva empieza en cero y termina en cero. Si aceptamos ademбs la existencia de una velocidad mбxima y pensamos en que es una curva que varнa lisa y suavemente, la opciуn mбs simple consecuente con estas hipуtesis es que la curva tenga la forma de una campana. Pero recordemos que este resultado es una mera conjetura extraнda de algunas consideraciones de lуgica elemental y de un par de datos objetivos acerca del comportamiento de las molйculas.

Figura 8. La forma cualitativa de la curva de la distribuciуn de velocidades en el modelo cinйtico. Recurramos al experimento. Sin contar que ese selector interferirнa con el movimiento de las molйculas y seguramente modificarнa sus velocidades, lo cual no queremos que ocurra. Pero la naturaleza es generosa y nos ha proporcionado de todos los elementos necesarios para llevar a cabo esta mediciуn. Veamos: lo primero que necesitamos es un conjunto de molйculas o бtomos muy grande que tengan velocidades cuya magnitud y direcciуn estйn distribuidos al azar.

Es bien sabido que algunos metales, como el talio, la plata, el litio y otros, al ser calentados a cierta temperatura emiten бtomos que tienen precisamente esa caracterнstica: sus velocidades son arbitrarias.

La emisiуn de estos бtomos puede visualizarse como disparos de una superametralladora de enorme rбfaga de balas por segundo, cada bala poseyendo una velocidad en magnitud y direcciуn totalmente arbitraria; esto es, la N-йsima bala tiene una velocidad que para nada depende de la que fue disparada antes que ella, ni influye en la que le sigue. Ahora bien, el problema es cуmo seleccionamos balas distinguiйndolas por las velocidades que poseen.

Esto es relativamente fбcil de resolver, imagine el lector que, de todas las molйculas o бtomos emitidas nos fijamos en aquellas que puedan salir por una rendija colocada a cierta distancia del metal emisor y que sirve de colimador.

Este colimador permite el paso solamente a un grupo selecto de molйculas cuya velocidad en magnitud es arbitraria, pero cuya direcciуn estб determinada por la orientaciуn que le demos a la rendija respecto del emisor. Para distinguir entre las partнculas que pasan por el colimador; dado que las velocidades estбn distribuidas en magnitud, usamos un dispositivo muy ingenioso.

Imaginemos una rueda dentada cuyas ranuras estбn uniformemente espaciadas a lo largo de su circunferencia. Si esta rueda estб montada sobre un eje giratorio conectado a un motor podemos hacerla girar con una velocidad angular determinada.

Cada ranura pasarб por un punto fijo en el espacio a tiempos bien determinados. De esta manera podemos determinar el nъmero de partнculas con velocidad v que pasan por ella y graficar ese nъmero contra v.

Variando la velocidad angular de la rueda, seleccionamos molйculas de diferente velocidad y asн tenemos un selector de velocidades. Si todas las molйculas o бtomos emitidas por el filamento tuvieran la misma velocidad, sуlo detectarнamos por medio del detector los impactos causados para una sola velocidad angular w.

Pero no ocurre asн Figura 9. Los datos experimentales obtenidos por el fнsico alemбn Otto Stern en y subsecuentemente mejorados hasta alcanzar una gran precisiуn por Miller y Kusch en se muestran en la figura Figura 9.

Esquema del aparato usado por Miller y Kush para determinar la distribuciуn de velocidades de Maxwell [Tomado del artнculo de R. Miller y P. Kusch Physical Review, vol.

La lнnea sуlida muestra la distribuciуn teуrica de velocidades calculada con la fуrmula de Maxwell. La abscisa se eligiу en unidades adimensionales para que distribuciones de velocidades a diferentes temperaturas incidieran sobre la misma curva. Kush, Physical Review, vol. En efecto, la curva exhibe las caracterнsticas previstas: indica que el nъmero de partнculas con velocidad cero es cero y que al crecer v la curva tambiйn tiende a cero. Nuestra intuiciуn ha sido gratamente corroborada. Si recuerdan, esta hipуtesis sуlo establece el carбcter estrictamente probabilнstico de la distribuciуn de las velocidades de las partнculas que forman el gas.

Boltzmann, conjuntamente con Maxwell, pueden considerarse como los dos grandes precursores de la teorнa cinйtica moderna. Esta ecuaciуn se conoce ahora como distribuciуn de Maxwell-Boltzmann.

James Clerk Maxwell Luis Boltzmann Asн llegamos a una feliz conclusiуn: nuestro modelo cinйtico no sуlo conduce a resultados que son comprobables a posteriori con el experimento, sino que el postulado mбs importante en que estб basado puede comprobarse directamente por los mйtodos arriba descritos.

Como comentario final debemos insistir en que la validez de este modelo estб circunscrita a describir correctamente las propiedades termostбticas de lo que llamamos un gas ideal.

En la prбctica estos gases, que en realidad no existen, se encuentran representados en los gases monatуmicos a densidades bajas, o bien por los mismos gases a temperaturas altas, temperaturas mayores que la temperatura del punto crнtico del gas. A densidades altas, el modelo falla; en estas condiciones la ley de distribuciуn de velocidades de Maxwell-Boltzmann no es correcta y la teorнa cinйtica de los gases debe corregirse esencialmente debido a que entre los бtomos o molйculas que componen el gas existen fuerzas atractivas y repulsivas que no hemos tomado en cuenta aquн.

Volveremos a este punto mбs adelante.

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Distribución Boltzmann

Si pudiйsemos responder estas preguntas aprenderнamos mucho. En efecto, si suponemos, como lo hemos hecho hasta ahora, que el gas estб en equilibrio, la forma en que todos los posibles valores de la velocidad estбn "repartidos" en las molйculas no va a cambiar con el tiempo; sуlo son diferentes molйculas las que a tiempos diferentes tienen tambiйn velocidades distintas. Y si conocemos esta reparticiуn podemos calcular, como en el ejemplo anterior; tanto como. Sin hacer ningъn tipo de ejercicio matemбtico, el lector puede adivinar por sн mismo cуmo puede ser, cualitativamente, la forma de esta distribuciуn o reparto de velocidades.

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La Funciуn de Distribuciуn de Energнa

Atrбs La Distribuciуn de Maxwell-Boltzmann La distribuciуn de Maxwell-Boltzmann es la funciуn de distribuciуn clбsica, para la distribuciуn de una cantidad de energнa entre partнculas idйnticas pero distinguibles. Ademбs de la presunciуn de distinguibilidad, la fнsica estadнstica clбsica postula que: No hay ninguna restricciуn sobre el nъmero de partнculas que pueden ocupar un estado dado. En el equilibrio tйrmico, la distribuciуn de partнculas entre los estados de energнa disponibles, se llevarб a cabo con la distribuciуn mбs probable, la cual es consistente con la energнa total disponible y el nъmero total de partнculas. Cada estado especнfico del sistema tiene la misma probabilidad.

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