0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Таблица производных и первообразных

Таблица производных и первообразных.

ПроизводнаяФункцияПервообразная
f ‘(x)f(x)F(x)
1.CCx
2.1xx 2 _ 2
3.n x n−1x nx n+1 ____ n+1 , n ≠ −1
4.1 ___ 2 √x _x __*
5.− 1 __ x 21 _ xln x
6.e xe xe x
7.a x ln aa xa x __ ln a
8.1 _ xln x*
9.1 ____ x ln alogax*
10.cos xsin x− cos x
11.− sin xcos xsin x
12.1 _____ cos 2 xtg x*
13.*1 _____ cos 2 xtg x
14.− 1 _____ sin 2 xctg x*
15.*1 _____ sin 2 x− ctg x
16.1 _____ √1−x 2 ____arcsin x*
17.*1 _____ √1−x 2 ____arcsin x
18.− 1 _____ √1−x 2 ____arccos x*
19.1 _____ 1 + x 2arctg x*
20.*1 _____ 1 + x 2arctg x
21.− 1 _____ 1 + x 2arcctg x*
ПроизводнаяФункцияПервообразная
[f'(x)][f(x)][F(x)]
1.C[Cx]
2.1[x][frac<2>]
3.[nx^][x^n][frac>,] (small)
4.[frac<1><2sqrt>][sqrt]*
5.[-frac<1>][frac<1>][ln]
6.[e^x][e^x][e^x]
7.[a^xln][a^x][frac]
8.[frac<1>][ln]*
9.[frac<1>][log_a]*
10.[cos][sin][-cos]
11.[-sin][cos][sin]
12.[frac<1>>][mathrmx]*
13.*[frac<1>>][mathrmx]
14.[-frac<1>>][mathrmx]*
15.*[frac<1>>][-mathrmx]
16.[frac<1>>][arcsin]*
17.*[frac<1>>][arcsin]
18.[-frac<1>>][arccos]*
19.[frac<1><1 + x^2>][mathrmx]*
20.*[frac<1><1 + x^2>][mathrmx]
21.[-frac<1><1 + x^2>][mathrmx]*

Полагаю, что посетитель этой страницы уже не единожды обращался и, скорее всего, пытался выучить наизусть таблицы производных и первообразных основных элементарных функций. Вместо таблицы первообразных Вы могли учить простейшие табличные интегралы, что, фактически, одно и то же. На мой взгляд, для вычисления неопределенных интегралов эффективнее пользоваться совмещенной таблицей, заодно это позволит быстрее её запомнить.

В таблице нет столбика для табличных интегралов по понятным причинам: неопределенный интеграл — совокупность первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную величину. Этот столбик отличался бы от предыдущего только добавлением к первообразной одного слагаемого — произвольной постоянной «+ С«. При этом функцию следовало бы поместить под знак интеграла. Всё это несущественно для запоминания формул.

Звёздочки в некоторых ячейках таблицы не означают, что у этой функции нет производной или первообразной. (Хотя такое случается, но не с приведенными элементарными функциями.) Здесь звёздочки заменяют производные и первообразные, которые выражаются композицией функций, а потому не подлежат запоминанию. Напротив, на экзамене вас могут попросить вычислить их, пользуясь, соответственно, правилами дифференцирования или методами интегрирования функций. Примеры вычисления некоторых из них представлены ниже таблицы. Остальные используются для упражнений в разделе о вычислении интегралов.

Если потребуется распечатать таблицу для использования, то лучше скачать её в формате рисунка. Тогда Вы сможете разместить его на листе формата А4 желаемым способом.

Пример вычисления отсутствующей производной в строке 13.

а) По правилу дифференцирования дроби

б) С использованием свойств степеней

Как показывает практика, большинство студентов предпочитает первый способ, но при этом чаще ошибается в вычислениях. Я рекомендую освоить второй подход, однако производная это тема другой статьи.

Пример вычисления отсутствующей первообразной в строке 4.

При вычислении использовались непосредственное интегрирование, свойства степенной функции и формулы для её первообразной (строка 3 таблицы).

Итак, одной из первообразных квадратного корня является функция 2xx _ ____ 3 , её можно поместить в таблицу вместо звёздочки в этой строке.

Вообще говоря, все пять верхних строк таблицы относятся к степенным функциям, поэтому их можно было бы заменить одним правилом:

— при дифференцировании степенной функции показатель степени сначала выносится коэффициентом перед ней, затем уменьшается на единицу;
— при интегрировании степенной функции показатель степени сначала увеличивается на единицу, затем сносится в знаменатель дроби.

Последнее верно для любых целых, дробных и отрицательных степеней, кроме n = −1, иначе в знаменатель пришлось бы помещать 0.

Пример вычисления отсутствующей первообразной в строке 8.

Почему arccos x отсутствует в столбце первообразных?

Если производная функции arccosx это функция , то по определению первообразная функции это функция arccosx , которая по праву может занять своё место в таблице.
Но с таким же успехом мы можем считать, что это производная функции arcsinx , умноженная на −1, и тогда её первообразной следует считать функцию −arcsinx ?

Действительно, так как arcсosx и −arcsinx отличаются только на константу, то они относятся к одному и тому же неопределенному интегралу, а значит как первообразные взаимозаменяемы. Не имеет смысла учить две формулы, когда достаточно запомнить одну, если вы понимаете смысл происходящего.

arcsinx + arcсosx = π _ 2 ,

так как по сути это два острых угла одного и того же прямоугольного треугольника.
То же самое относится к функции arcctgx.

Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.

Первообразная и интегралы

Первообразная

Функция F(x ) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство

► Например, функция F(x) = х 2 является первообразной для функции f(x ) = 2х , так как

Основное свойство первообразной

Если F(x) — первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С, где С — произвольная постоянная.

Правила вычисления первообразных

  1. Если F(x) — первообразная для f(x) , а G(x) — первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) — первообразная для f(x) + g(x) . Иными словами, первообразная суммы равна сумме первообразных .
  2. Если F(x) — первообразная для f(x) , и k — постоянная, то k· F(x) — первообразная для k· f(x) . Иными словами, постоянный множитель можно выносить за знак производной .
  3. Если F(x) — первообразная для f(x) , и k , b — постоянные, причём k ≠ 0 , то 1 / k· F( k x + b ) — первообразная для f (kx + b ) .

Неопределённый интеграл

Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x) . Обозначается неопределённый интеграл так:

f(x) — называют подынтегральной функцией ;

f(x) dx — называют подынтегральным выражением ;

x — называют переменной интегрирования ;

F(x) — одна из первообразных функции f(x) ;

С — произвольная постоянная.

Слово «интеграл» происходит от латинского слова integer , что означает «восстановленный». Считая неопределённый интеграл от 2 x , мы как бы восстанавливаем функцию х 2 , производная которой равна 2 x . Восстановление функции по её производной, или, что то же, отыскание неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Основные свойства неопределённого интеграла

    Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла:

Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:

Если k , b — постоянные, причём k ≠ 0 , то

Статья в тему:  Вот незадача…. Как усилить сигнал сотовой связи своими руками
Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector